The abel ea sefofane: mokhoa oa ho etsa? Mefuta sefofane ditekanyo

Sebaka sefofane ka hlalosoa ka litsela tse sa tšoaneng (letheba le leng le vector, ho vector le lintlha tse peli, lintlha tse tharo, joalo-joalo). Ke ka lebaka leo, la sefofane abel ka ba le mefuta e fapa-fapaneng. Hape tlas'a maemo a itseng sefofane ka 'na ba e tšoanang, perpendicular, intersecting, joalo-joalo Ena le tla bua ka tsona sehloohong sena. Re tla ithuta ho etsa abel kakaretso oa sefofane 'me a sa feela.

Foromo tloaelehileng ea abel ho

A re nke hore R ke sebaka _3, e nang le likhutlo li 'nè hokahanya oona tsamaisong XYZ. Re ka hlalosa ho vector α, e leng tla lokolloa qaloang O. Ka bofelo ba α le vector atamela sefofane P e perpendicular ho yona.

Bolela P a sa le hatellang ntlha Q = (: x, featswan, med). The radius vector ya ntlha Q letšoao lengolo leq. Bolelele ba vector ho lekana leq α = IαI le Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

unit trust ena vector, eo e lebisitsoe ka tsela ea e le α vector. α, β le γ - ke dikhutloteng hore ba thehoa pakeng tsa vector le litaelo positive, Ʋ sebaka lilepe: x, featswan, med ho latellana. The boqapi ba ea sa ntlha ka vector QεP Ʋ ke kamehla e lekanang leq (leq, Ʋ) = leq (r≥0).

The abel holimo e nang le morero ha leq = 0. Feela-n sefofane tabeng ena, o ne a tla tšela ntlha O (α = 0), eo e hlahang ho yona, 'me unit trust vector Ʋ, lokolloa ntlha O tla perpendicular ho P, le hoja tataiso ea eona, e leng ho bolelang hore vector Ʋ ikemiselitse ho fihlela ho pontšo. abel Fetileng ke sefofane rona P, o bontšitsoeng ka foromo vector. Empa ka lebaka la hokahanyang lona ke:

P o moholo ho feta kapa lekanang 0. Re fumane sefofane abel foromo tloaelehileng.

The abel kakaretso

Ha abel ka hokahanyang le atisa ho ea ka palo efe kapa efe eo e seng ea lekana le lefela, re fumana abel lekanang le a ho ena le hore e hlalosa sefofane haholo. Ho tla ba le mofuta o latelang:

Mona, A, B, C - ke palo ea ka nako e fapaneng ho tloha lefela. abel ena o bitsoa abel tsa mofuta o akaretsang wa sefofane.

The ditekanyo tsa lifofane le. Maemong a khethehileng

abel ka kakaretso ho fetola le maemo a eketsehileng. Nahana ka tse ling tsa tsona.

Nahana hore coefficient A ke 0. Sena se bontša hore ka sefofane e tšoanang le ho esale pele a selekane pholo. Tabeng ena, mokgwa wa abel ho fetola: Wu + cz + D = 0.

Ka ho tšoanang, ponahalo ea abel le tla fapana le maemo a latelang:

• Pele, ha B = 0, liphetoho abel ho selepe + cz + D = 0, e neng e tla bontša ho parallelism ho selekane Oy.
• Tabeng ya bobedi, haeba C = 0, ho abel e fetoloa selepe + By + D = 0, ke ho re ka tšoanang le ho tselaneng esale pele Oz.
• Boraro, haeba D = 0, ho abel tla hlaha e le selepe + By + cz = 0, e neng e tla se bolela hore sefofane intersects O (tšimoloho).
• Ntlha ea bone, ha A = B = 0, liphetoho abel ho cz + D = 0, eo e tla ba parallelism Oxy.
• Bohlano, haeba B = C = 0, ho abel fetoha selepe + D = 0, e bolelang hore sefofane ke e tšoanang le ho Oyz.
• Sixthly, haeba A = C = 0, ho abel nka sebōpeho Wu + D = 0, i.e., e tla tlaleha ho parallelism Oxz.

Foromo ya abel ka likarolo

Tabeng ea moo linomoro A, B, C, D fapane lefela, mokgwa wa abel (0) e ka nna tjena:

x, / a + featswan / b + med / mdlody = 1,

moo e = -D / A, b e = -D / B, se c = -D / C.

Re fumana ka lebaka abel ea sefofane sa likoto. Re lokela ho hlokomela hore sefofane sena se tla intersect ho x-a selekane a le makhatheng le hokahanyang (a, 0,0), Oy - (0, b e, 0), le Oz - (0,0, s).

Fuoa abel: x / a + featswan / b + med / mdlody = 1, ho ke ke ha ho le thata ho nahana go bewa sefofane a lekanyelitsoeng ho esale pele hokahanya tsamaiso.

The okamelang oa vector ho tloaelehile

E tloaelehileng vector n g ho sefofane P o hokahanyang hore ke coefficients tsa abel kakaretso ea sefofane, i.e. n g (A, B, C).

E le hore ho fumana hore na hokahanyang ea n g e tlwaelehileng, ho ke ke lekane ho tseba abel kakaretso fanoeng sefofane.

Ha ba sebelisa abel ka likarolo, e leng o na le mofuta o sa x / a + featswan / b + med / mdlody = 1, e le ha ba sebelisa abel kakaretso ka ngotsweng okamelang oa vector efe kapa efe e tloaelehileng ea sefofane fanoeng: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Re lokela ho hlokomela hore vector tloaelehileng ea thusa ho rarolla mathata a fapa-fapaneng. The mathata a atileng ka ho fetisisa ba o entsoeng ka lifofane bopaki perpendicular kapa tšoanang le eo, mosebetsi oa ho fumana dikhutloteng le pakeng tsa lifofane kapa dikhutloteng pakeng tsa lifofane le mela e otlolohile.

Thaepa ho ea ka abel sefofane le hokahanyang ya ntlha tloaelehile vector

A nonzero vector n g, perpendicular ho sefofane fanoeng, ba bitselitsoeng ho tloaelehile (tloaelehile) ho sefofane esale pele.

A re re ka hokahanya sebaka (a likhutlo li 'nè hokahanya oona tsamaisong) Oxyz beha:

• Mₒ ntlha le hokahanyang (hₒ, uₒ, zₒ);
• lefela vector n g = A * kea + B * ya j + C * K.

U lokela ho etsa abel ea sefofane le fetelang ka Mₒ ntlha perpendicular ho n g tloaelehileng.

Ka sebaka ho re khetha ntlha leha e le efe hatellang le bolela M (: x, featswan, med). Tlohelang radius vector tsa e mong le e M ntlha (: x, featswan, med) tla ba bo r = x, * kea + featswan * ya j + med * K, le radius vector ya ntlha Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * kea + uₒ * ya j + zₒ * K. Ntlha M tla karolo ea sefofane fanoeng, haeba vector MₒM ba perpendicular ho n g vector. Re ngola ka boemo ba orthogonality sebelisa sehlahisoa scalar:

[MₒM, n g] = 0.

Kaha MₒM = dagelever-rₒ, ho vector abel la sefofane o tla sheba e kang ena:

[R - rₒ, n g] = 0.

abel ena ka boela ba le sebopeho se seng. Bakeng sa morero ona, le thepa ea sehlahisoa scalar, 'me a sokolohela lehlakoreng le letšehali la abel ena. [R - rₒ, n g] = [dagelever, n g] - [rₒ, n g]. Ha [rₒ, n g] denoted ka s, re fumana abel latelang: [a r, n g] - e = 0 kapa [dagelever, n g] = s, eo o bontša ka tiisetso ya dipeakanyo ka vector ho tloaelehile tsa radius-vectors tsa lintlha tse ileng ea fanoa e matleng a hae sefofane.

Hona joale u ka fumana hokahanya mofuta rekota sefofane vector rona abel [dagelever - rₒ, n g] = 0. Ho tloha ka bo r-rₒ = (x-hₒ) * kea + (y el-uₒ) * ya j + (med-zₒ) * K, 'me n g = * A kea + B * ya j + C * K, re na:

E fellang kateng le hore re na le abel Ho thehoa sefofane feta ntlha ea perpendicular ho n g e tloaelehileng:

A * (x, hₒ) + B * (y el uₒ) S * (med-zₒ) = 0.

Thaepa ho ea ka abel sefofane le hokahanyang tsa lintlha tse peli tsa collinear vector sefofane

Re ka hlalosa lintlha tse peli tse hatellang M '(x e', featswan ', med') le M "(x,", featswan ", med"), hammoho le ho vector (a ', e ", e ‴).

Hona joale re ka ngola abel esale pele sefofane eo e ntse e feta ka o teng ntlha M 'me M ",' me ntlha ka 'ngoe le hokahanyang M (: x, featswan, med) e tšoanang le ho vector fanoeng.

Ka tsela eo M'M vectors: x = {x, ', y el-featswan'; zz '} le M "M = {x," -x', featswan 'featswan'; med "-z '} e lokela ho ba coplanar le vector ho e = (a ', e ", e ‴), e leng ho bolelang hore (M'M M" M, a) = 0.

Kahoo abel rona tsa sefofane ka sebaka tla sheba e kang ena:

Mofuta oa sefofane abel, tšela lintlha tse tharo

A re re re na le lintlha tse tharo: (x e ', featswan', med '), (x e', featswan ', med'), (a x ‴ e na ‴, med ‴), tseo e seng tsa mokhoeng o tšoanang. Ho ke ke ho hlokahala hore a ngole abel ea sefofane ea fetang ka lintlha tse tharo boletseng. lipalo, geometry khopolo pheha khang ea hore mofuta ona oa sefofane ha teng, ho e mong le feela feela. Kaha sefofane sena intersects ntlha (x e ', featswan', med '), abel foromo lona e ne e tla:

Mona, A, B le C li fapane le lefela ka nako e tšoanang. Boetse ba fuoa sefofane intersects lintlha tse ling tse peli (x, ", featswan", med ") le (x, ‴, featswan ‴, med ‴). Mabapi ena lokela ho ho phethahatsoa ea mofuta ona e maemo a:

Hona joale re ka bopa ka tsamaiso junifomo ea ditekanyo (guttate) le tsebeng appa, v Le, w Le:

Ho rōna: x, featswan kapa med emela ntlha hatellang eo khotsofatsa abel (1). Ho nahana ka abel (1) le tsamaiso ya ditekanyo (2) le (3) ea tsamaiso ea ditekanyo bontšitsoe palo eo ka holimo, vector khotsofatsa N (A, B, C) eo ke nontrivial. Ke hobane tlhotlheletsang ea tsamaiso e lefela.

Abel (1) hore re na le, sena ke abel ea sefofane seo. 3 ntlha o hlile li etelang le ho bonolo ho hlahloba. Ho etsa sena, re atolosa tlhotlheletsang ke thepa ea motheo e moleng pele. Tsa thepa tse teng tlhotlheletsang gore latela hore sefofane rona ka nako intersects ba bararo qalong esale pele ntlha (x e ', featswan', med '), (x, ", featswan", med "), (a x ‴, featswan ‴, med ‴). Kahoo re ile ra etsa qeto ea ho etsa mosebetsi ka pel'a rōna.

Dihedral angle pakeng tsa lifofane le

Dihedral angle ke tlhaloganya sebaka thutatekanyo sebopeho thehoa ka tse peli halofo lifofane hore bona bo tswang mo tswa mola otlolohile. Ka mantsoe a mang, e le karolo ea sebaka e felle feela ka halofo-lifofane.

A re nke hore re na le sefofane tse peli le ditekanyo latelang:

Rea tseba hore vector N = (A, B, C) le N¹ = (A¹, H¹, S¹) ho latela lifofane esale pele ke perpendicular. Tabeng ena, e hlaha ka lehlakoreng le φ pakeng vectors N le N¹ lekanang angle (dihedral), eo e teng pakeng tsa lifofane tsena. Sehlahisoa scalar e ileng ea fanoa ke:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

toba hobane

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ho ho lekaneng ho e ela hloko hore 0≤φ≤π.

Ha e le hantle tse peli lifofane hore intersect, foromo tse peli angle (dihedral): φ ₁ le φ _2. Balang bona o lekana le π (φ ₁ + φ ₂ = π). Ha e le cosines bona, litekanyetso tsa bona ka ho feletseng baa lekana, empa ba matšoao a fapaneng, ke hore, cos φ ₁ = -cos φ _2. Haeba ka abel le (0) e nkeloa sebaka ke e, B le C ea -Ke, -B le -C ka latellana, e abel, re fumana, e tla fumana sefofane e tšoanang, ho hlaha ka lehlakoreng le feela φ ka abel cos φ = ka nn ¹ / | n || n ¹ | E tla nkeloa sebaka ke π-φ.

The abel ea sefofane perpendicular

Bitsoa perpendicular sefofane, pakeng tsa eo angle ke likhato 90. U sebelisa lintho tse bonahalang tse hlahisa mona ka hodimo, re ka fumana abel ea sefofane sa perpendicular ho tse ling. Ha re re mohlomong re na le lifofane tse peli: selepe + By + cz + D = 0, 'me + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Re ka ba bolela hore ba na le orthogonal ha cos = 0. Sena se bolela hore NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

The abel tsa sefofane e tšoanang

Ho ile a bua ka lifofane tse peli tse tšoanang le tseo ba le ha ho na lintlha tse tšoanang ka eona.

Boemo ba lifofane e tšoanang (ditekanyo bona li tšoana le ea serapa sa fetileng) ke hore vectors N le N¹, tse perpendicular ho bona, collinear. Hona ho bolela hore maemo a latelang a ile a kopana le proportionality:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ha mantsoe a tekanyo e lekanang ya di atolosoa - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ena e bontša hore sefofane ya data ya e tšoanang. Sena se bolela hore abel selepe + By + cz + D = 0 mme + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 hlalosa sefofane ngoe.

Sebaka se ka tsela eo ho sefofane

A re nke hore re na le sefofane P, eo e ileng ea fanoa ke (0). Ho ke ke ho hlokahala ho fumana hole ho tloha ntlha e le hokahanyang (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , O hloka ho tlisa abel ka sefofane II ponahalo ea tlhaho hore motho a etsa hore:

(Ρ, v) = leq (r≥0).

Tabeng ena, ρ (: x, featswan, med) ke radius vector ya ntlha ya rona Q, teng ka n g leq - n g e bolelele ba perpendicular, e neng e lokolloa ntlha lefela, v Le - ke unit trust vector, e leng e lokisetsa ka tsela e itseng.

Phapang ρ-ρº radius vector ya ntlha Q = (: x, featswan, med), bao e leng 'n' le radius vector ya ntlha e itseng Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) e jwalo vector, boleng feletseng boqapi seo ka sona ka v le lekana hōjana le d, e ke ho hlokahala hore ho fumana ho tloha Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ho P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, empa

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v, ) - (ρ ^0, v) = leq (ρ ^0, v).

Gore e tle e fellang kateng le,

le d = | (ρ ^0, v) leq |.

Hona joale ho hlakile hore ho a bale hōjana le d ho tloha ₀ ho Q sefofane P, ho ke ho hlokahala hore ho sebelisa ntho e tloaelehileng maikutlo a sefofane abel, ho battlefield ho le letšehali la leq, le sebaka ho qetela ya x, featswan, med tšoarang molepo (hₒ, uₒ, zₒ).

Kahoo, re fumana boleng feletseng polelo sephetho se lebeletsoeng, d.

Sebedisa ditekanyetso tsa puo, re fumana totobetseng:

le d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ha boletsweng ntlha Q ₀ o ka lehlakoreng le leng la sefofane P e hlahang ho yona, ka nako eo pakeng tsa vector ho ρ-ρ ⁰ le v, ke e obtuse angle, ka tsela eo:

le d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Tabeng eo ka eona ntlha Q ₀ ka kopanelo le tšimoloho teng lehlakoreng tšoanang ea U, le hlaha ka lehlakoreng le a hlobaetsang le botjwa, ke hore:

le d = (ρ-ρ ^0, v) = leq - (ρ ^0, v)> 0.

Phello ke hore tabeng e kileng (ρ ^0, v)> leq, ka bobeli (ρ ^0, v)

Le lona tangent sefofane abel

Malebana le sefofane ho holim'a metsi a le makhatheng a tangency Mº - sefofane nang tangent khoneha ho mothinya huleloa ka hore ntlha ka holim'a metsi.

Le foromo ena holim 'a abel F (: x, featswan, med) = 0 ka abel tsa tangent sefofane tangent ntlha Mº (hº, uº, zº) e ne e tla:

_F-x (hº, uº, zº) (hº x,) + _F-x (hº, uº, zº) (uº featswan) + _F-x (hº, uº, zº) (med-zº) = 0.

Haeba holim 'e beha ho toba med = o f (: x, featswan), joale e ntan'o ba tangent sefofane o hlalosoa ka abel ho:

med-zº = o f (hº, uº) (hº x,) + o f (hº, uº) (y el uº).

The motsoako oa lifofane tse peli

Ka sebaka tse tharo-tlhakore ke hokahanya tsamaiso e khopo (likhutlo li 'nè) Oxyz, fuoa lifofane tse peli P' me P 'hore lepelela me le se ke tsamaisane. Kaha sefofane leha e le efe, e leng ka likhutlo li 'nè hokahanya oona tsamaisong hlaloswang ka ho abel kakaretso, re nahana hore n' le n g "li hlalosoa ke ditekanyo A'x + V'u S'z + + D '= 0 mme A" + B: x' + featswan le "med + D" = 0. Tabeng ena re na le n g e tloaelehileng '(A', B ', C') tsa sefofane P 'le n g tloaelehileng "(A", B ", C") tsa sefofane P'. Ka sefofane sa rōna ha ba e tšoanang le ha li tsamaisane, joale vectors tsena ha collinear. Ho sebelisa puo ea lipalo, re na le boemo ena ka e ngotsweng e le: n '≠ n g "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * And", λ * Ka ", λ * C"), λεR. A moleng otlolohileng eo larileng ka ka motsoako P 'me P ", tla denoted ke lengolo la ka, tabeng ena e = P' ∩ P".

le - mola e entsoeng ka ka plurality tsa lintlha tse tloaelehileng () lifofane P 'me P ". Sena se bolela hore okamelang oa ntlha leha e le efe tsa ho mola ka, lokela ho ka nako khotsofatsa abel A'x + V'u S'z + + D '= 0 mme A "x, + B' + C-y" med + D "= 0. Sena se bolela hore okamelang oa ntlha e tla ba le tharollo ea ka ho khetheha ba ditekanyo latelang:

Phello ke hore tharollo (ka kakaretso) oa tsamaiso ena ea ditekanyo tla beha okamelang oa ntlha ka 'ngoe ka mola e tla sebetsa jwalo ka ntlha ya motsoako P' me P ", 'me bona hore mola o ka hokahanya oona tsamaisong Oxyz (likhutlo li' nè) sebaka.